接下來，我們將介紹基本學力測驗的分數等化過程：

（1）由於幾乎所有的國三學生都參加了第一次國中基本學力測驗，第一次測驗的結果非常適合用來建立量尺分數。因此，根據前面所提到的原始分數轉換成量尺分數的方法，我們先將原始分數與量尺分數對照表算出來。如此，我們可以得到每一位考生的原始分數與量尺分數等資料。因為要用IRT 的方法來進行等化，所以我們得進一步用IRT 的方法來估算每一位考生的能力參數，根據全部考生的資料，經過綜合整理之後，我們可以得到下表的第二、三及四欄的資料，也就是答對題數、能力值與量尺分數的對照表。

（2）根據參加第二次學力測驗的考生在第二次測驗上面的作答資料，用IRT 的方法來估計考生的能力值。如此，每一位考生的答對題數原始分數與其能力估計值都可以被收集到，而將這些資料與從第一個步驟所得到的資料合併，我們可以得到如下的對照表範例。

（3）第二次國中基本學力測驗不再建立新的量尺分數，而是使用我們在上一個步驟所得到的表，來將考生在第二次學力測驗所得到的原始分數，對應到在第一次學力測驗時所建立的量尺分數。舉例而言，如果某一考生在第二次基本學力測驗某學科的原始分數為58 分，從下表我們可以得知他所對應的量尺分數為51，相當於在第一次基本學力測驗該科的原始分數為62。換言之，對該科來說，在第一次基本學力測驗原始分數為62 分的考生，與在第二次基本學力測驗原始分數得到58 分的考生，有相同的量尺分數51 分。

某科量尺分數對照表範例：

　　IRT 最為有力的地方，是同一個考生若在同一個時段考兩次試，即使作答不同的試題，所估計出來的兩個能力參數的值，理論上是一樣大小的。如果考完第一次之後隔了一些時日再考第二次，以至於兩次考試之間有成長（或進步）的現象存在，那麼根據第二次測驗的結果所估計得到的能力參數值，將會大於第一次測驗後所估計得到的。因為IRT 具備這樣的特性，因此透過用IRT 方法所進行的等化之後，我們有信心考生在第二次測驗所得到的量尺分數絕對是合理、公平、公正的；而且從兩次測驗所得到的量尺分數之間也是可以相互比較的。

　　影響整個基本學力測驗等化程序的關鍵點，其實是在於各個題目的試題參數（item parameter）是否被精確地估計出來。因為這裡所說明的等化方法在某個程度之下，其原理與目前常見的電腦化適性測驗（computerized adaptive testing, CAT，如TOEFL、GRE 以及美國的護士執照考試等）原理是一樣的，是在試題參數已知的情形下估計考生的能力參數（ability parameter）（註：在IRT 中，每一個試題會有幾個試題參數來描述該題的特性，而也有一個能力參數來描述考生的能力）。目前國中基本學力測驗每一道試題皆經過至少240 至320 位不同地區的國三學生「預試」過，截至目前為止，參與過預試的國三學生已超過數萬人，涵蓋全國各縣市的國民中學。以此大規模的預試工作所得的答題反應資料，可以用IRT來估計出每一個題目的試題參數（難度、鑑別度y）等。經過實際驗證，九十年預試所得的題目難度與該年度第一次測驗三十萬人的資料，算出來的題目難度相當接近。即使如此，學力小組仍然依據從三十萬人的資料所得到的試題參數，來將題庫中每一個題目的試題參數加以校正。

　　根據國中基本學力測驗的精神，測驗試題的取向是能力導向，不偏重記憶，且兩次測驗的範圍差異不大，各科測驗的難度分配相近，在學生能力沒有突然進步的情況下，學生在兩次測驗上的分數應當並不會改變太多。不過如果學生真的有進步，在等化的過程中，一定會反映出來，第二次會得到較高的量尺分數。

柒、相關的議題

　　在九十一年第一次基本學力測驗的結果公布之後，引起比較多的關心或討論的，可能是社會科答錯一題而量尺分數仍然是60 分（滿分）這一件事。在探討這種情形是否合理之前，最好讓我們將視線移到本文的第貳節去（見飛揚第十七期第九頁）。我們曾經一起分享了古典測驗理論的一些看法，認為觀察到的原始分數是由真分數與誤差分數兩個部分所組成的（亦即，X＝T＋E）。我們也提到了在測驗理論中，學者傾向於認為外表所觀察到的分數未必是考生真正的能力反映，這個觀察到的分數一定受了某些因素的影響，以至於有「誤差分數」的存在；因此，我們所關心的就是考生的真分數。這也是這次社會科量尺分數所引起關切的重點。

　　就如同前面曾經提到的，在編製測驗題的過程中，想要得到兩個在統計特徵以及題目內容一模一樣、但題目不同的測驗題本，是一件非常不容易的事情。因此今年第一次基本學力測驗社會科的題目難易度與去年相較，似乎就比較難一點點。然而，就如同前一段所提到的，因為我們關心的是真實分數的部分，所以將原始分數轉換成量尺分數的用意之一，也是希望經過轉換後的量尺分數能夠代表考生的真實能力。若考生的能力真的不低，因為題目的難度稍微高了一點點，以至於考生無法達對全部題目的話，我們從答對題數的原始分數推估其真正能力時，理論上我們還是得給考生一個公平的待遇。這也是為什麼在ACT 等知名測驗在遇到類似情境時，同樣會給答錯一題的考生滿分的量尺分數。

　　另外，關於量尺分數還有一個重要的觀念值得我們放在心上：底下這個統計學上的範例修改自林清山的統計學教科書，在原來的例子中，最後加總的是用分數（z＝（X-）／SD），我們進一步用公式來將分數轉換一下：

採用原始分數與採用標準分數導致不同結果

原始分數( X )					標準分數( S=10 X z + 50 )
	甲生	乙生		SD	甲生	乙生
-------------------------------------------------------------------------------------------------					-------------------------------------
國文	71	80	62	9	50.0	70.0
英文	34	24	38	7	44.3	30.0
數學	39	26	25	5	78.0	48.0
歷史	72	64	60	8	65.0	45.0
地理	61	91	71	10	40.0	70.0
-------------------------------------------------------------------------------------------------					-------------------------------------
總分	277	285			277.3	263.0

　　若我們用各科原始分數的總分來看，甲生的分數（277）比乙生的分數（285）低了8分，所以若要用原始分數的總分來選才的話，似乎乙生是個合適的人選。然而，如果我們將各科的分數先行標準化（即換算成z 分數），然後轉換為標準分數（S＝10×z＋50），之後再將五個科目的標準分數加起來得到一個總分來比較的話，我們卻得到相反的結果，此時甲生的分數為277.3，而乙生的分數為263，如果要從中挑出一個人來，似乎甲生就變成了我們的選擇了。

　　這個例子不是用來說明哪一種方法比較好，因為如果用原始分數的總分，等於是給考生一個截長補短的機會，某一科的分數低了一點點，沒關係，可以用其他科目的分數來彌補。而用標準分數的話，則是要考生在每一個科目上都要與其他人比一比，必須每一個科目都要比其他人「好一點點」，總分的部分才可能出人頭地。這裡我們將「好一點點」四個字用引號括起來，是要強調並不是真的必須各科都很強才行，從上面的資料我們也可以看到其實甲生並不是每一科都非常好的。

　　上面例子中的原始分數與標準分數的對照，其實可以想像成基本學力測驗的原始分數與量尺分數。也可以幫助我們思考：「若一個考生每個科目都錯一題所得到的量尺分數總分，與一個四科全對但是某一科錯了五題的考生之量尺分數總分，可能會不同」的事實。基本上，基本學力測驗的量尺分數，就是將考生各科的分數先在各科之內與其他考生比較之後得到的；因此，當在各科之內比較之後，兩個人在各個科目上面的量尺分數都不相同，自然量尺分數總分就可能是不同的。筆者要再一次強調的是，這個例子只想指出一個事實─「量尺分數的建立是在各科之內產生的」，因此不能以全部各科答錯的總題數相同，就要求有相同的量尺分數總分，因為分數不是這樣得來的。

參考文獻

• 林清山（2001），心理與教育統計學。東華書局。
• 涂柏原，陳柏熹，章舜雯，林世華（2000）。基本學力分數的建立。國中基本學力測驗推動工作委員會。（未出版）
• 涂柏原、章舜雯（2000）。國中學生基本學力測驗的分數及相關議題，教師天地，109 期，9- 17 頁，台北市教師研習中心。
• 陳柏熹、涂柏原、章舜雯、林世華（2000）。國中基本學力測驗分數的意義與使用。未出版。
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• Brennan, R. L., & Kolen, M. J. （1989）. Scaling the ACT assessment and P-ACT+: Rationale and goals. In R. L. Brennan （Ed.）, Methodology used in scaling the ACT Assessment and P-ACT+ （pp. 1-17）. Iowa City, IA: ACT, Inc.
• Kolen, M. J., & Hanson, B. A. （1989）. Scaling the ACT Assessment. In R. L. Brennan （Ed.）, Methodology used in scaling the ACT Assessment and P-ACT+ （pp. 35-55）. Iowa City, IA: ACT, Inc.
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