數學科有約 親愛的,我把數學題目變簡單了         前國立台灣大學數學系教授 黃敏晃


數學題目七十二變
  數學題目變化莫測的事實,常是許多考生的惡夢。有人認為,這是數學老師或命題者有虐待傾向的症候。其實他們沒搞清楚,變化原是數學的本質。數學是抽象的學問,說得白一點,數學的道理是由許多外表看似不同的現象,抽離其外顯的形象而得到的共同背後原因。譬如說,我們視下面三題為同樣的題型︰

題目一 雞兔同籠,頭共35,腳共110,問雞兔各幾隻?

題目二 三腳凳和四腳凳共35張,腳共110,問各幾張?

題目三 鉛筆和原子筆每枝各4元和7元,花156元共買30枝,問各幾枝?

  一般而言,一道數學問題有兩種浮面的因素,即情境結構和數字結構。上面三題的數字結構都是簡單的整數關係,不會造成解題的困擾。頭兩題的情境容易看出其相似之處,只要把第二題的張改成頭,就是第一題的樣子;要將鉛筆和原子筆的價錢看成它們的腳較難,但將三題並列,學生也不難看出第三題是頭兩題的延伸。要把這三道題視為同類型,還得靠共同的解法來加以整合。下面,提供筆者在小學時的經驗給讀者分享︰

   筆者就讀小學高年級的年代是民國四十一、二年,當時尚未有國中,要透過升學考試才能進入初級中學就讀。小學沒教代數,故解題依靠算術思維,這是客氣的說法,事實上考試領導教學,老師還不是教你套公式了事。解雞兔同籠的問題,老師給了如下的公式:「兔數=腳數÷2-頭數」。知道了兔子的數目,雞數並不難算出。問題出在當時的算術四則應用題有許多類型,諸如植樹算、流水算、工程算、時鐘算、混合算、年齡算......每種類型各有多條公式(如植樹算四條,年齡算九條),學生不了解公式,記不住公式,記住了也亂用一氣,常用錯,所以,我們要求老師解釋公式的意義。

   筆者高年級的級任張漢喜老師想了很久,終於找到一個解釋雞兔算公式的好點子。他說,我會吹神奇的口哨,聽到哨音後,兔子會用兩隻後腳站立(如哈巴狗的樣子),而雞則會像鶴睡覺時那樣縮起一隻腳,這就是腳數除以二的意思;此時,每隻兔子只有兩隻腳而雞只有一隻腳,所以減去頭數後多出來的,就是每隻兔子多出的一隻腳,有多少隻腳就有多少隻兔子。老師還叫同學上台演出雞和兔子的動作,生動的解釋使我們全班都了解此條公式,而雞兔算也變成我們班最拿手的題型。試題中出現雞兔算的題目時,全班都吹神奇口哨歡呼。

模仿思考怎樣進行

  後來有位同學老爸,一位中學數學老師提供了上面的題目二,給我們班同學練習。同學無法解題,只好找張老師要公式。張老師太極拳打得非常好,四兩撥千斤,叫班上幾位最調皮搗蛋的小男生(筆者在內),先回去想想怎樣解題,並在明天上課時向全班報告。

   下課後,幾個人愁眉苦臉地聚在一起,因為我們不會思考。後來有人提議,模仿老師吹神奇口哨,而且我們的口哨一定要比老師的更有威力才行,因為沒生命的凳子也會聽到後舉腳。問題是他們各要舉幾隻腳?

   每張凳子可以舉不同數目的腳嗎?一定是每張三腳凳舉一樣多隻腳,四腳凳也是如此。在雞兔算的公式中,雞和兔都舉一半的腳,使數學公式中可簡單地用除以2表達;但三腳凳只有奇數隻腳,腳數無法除以2,怎麼辦呢?

   沒辦法用除的,用減的可以嗎?假設每張凳子,不管三腳凳還是四腳凳,都舉一隻腳,那就是(腳數-頭數)了;但此時,四腳凳剩三隻腳,而三腳凳剩兩隻腳,狀況不夠明朗。若每張凳子都舉兩隻腳呢?四腳剩兩腳,三腳剩一腳,這不就回到雞兔算中,吹過神奇口哨之後的狀況了嗎?眾人大喜之下,列出如下公式:
  (腳數-頭數×2)-頭數=四腳凳數目
  有人建議簡化公式,我們終於得到如下的公式:
  四腳凳數目=腳數-頭數×3

   我們繼續追問此公式的意義:每張凳子都舉三隻腳,此時三腳凳沒腳了,而每隻四腳凳都只剩一隻腳,所以此數量就是四腳凳的數目了。但是,為什麼原來雞兔算的公式會和我們的公式不一樣呢?

   如果我們用減法想,應該是雞兔都舉兩隻腳,如此,雞沒腳了,但每隻兔子還剩兩隻,用算式表示成(腳數-頭數×2)。要從此數得到兔數,還得除以2,即兔數=(腳數-頭數×2)÷2。不難看到,把上式中的括號去掉就變成原來老師給我們的公式了。在如此充分的準備下,我們第二天的解題報告,得到班上同學如雷的掌聲,張老師尤其激動,擁抱了我們每位上台的同學,並宣稱我們是他最好的學生(之後我違規被他抓到,打得比較輕)。

   後來,中學數學老師陳老爸又提供了上面的題目三。這時思考起來就單純了:把每隻筆當鉛筆算,從總價中扣去得(鉛筆價×枝數),此數是每枝原子筆比鉛筆貴三元造成的,故除以3後,就是原子筆的數目,公式︰
  原子筆數=(總價-鉛筆價×枝數)÷(兩種筆價差)

能力不是知識累積

  題目的數字結構有時會造成解題時的障礙,因此形成了題型認定的困擾。譬如說,下面的兩道題目前者被稱為追趕問題,而後者是時鐘問題。

題目四 兔每秒跑三米,犬每秒跑五米,犬在兔20米後追,問何時追上?

題目五 四點後,圓形時鐘上的分針和時針何時第一次重疊?

  讀者不難理解,從題目的表面情境而言,它們不太被認為是同一題型。但是,進一步想一下,時鐘上的分針和時針為什麼會疊合?鐘面上的數字(由1~12)把圓形鐘面12等分,而每個連續數字之間分成等距離的五小格。分針每分鐘走一小格,時針每小時走五小格;一小時等於60分鐘,故分針每小時走60小格,即分針走得快,時針走得慢;四點時走得慢的時針在分針的前面20小格,分針要趕上時針,兩針才會重疊。所以,題目五其實也是追趕問題。第四題的解題計畫若不清楚,可以用列表檢查兩者的距離而掌握住,如下:

時間 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
兔犬距離 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

   若要列出算式,則要弄懂兩者間距離減少之原因為兩者的速率差(5-3)米/秒,因此解題公式是(兩者原先的距離)÷(兩者的速率差)=(追上時間)。第五題是不適宜列表的,因為時針每分鐘只走1/12小格,故很難從表格中得到正確答案。所以,第五題一定要看成與第四題同類型,利用相同公式來解題才容易:

   美國數學家Paul Halmos說,數學的核心是解題(Problem Solving is the heart of mathematics.)。但是,數學能力不是零碎知識的累積(Mathematical ability is not just the accumulation of fractal knowledges.),而是透過一些如上述的學習活動、討論、連結相關的解題經驗、形成解題類型,或更進一步形成數學概念。這樣學到的知識不但是有結構的(因此記憶不成問題),且對內容表徵方式(包含情境)的改變更能適應,因此應用的可能性增加。

   筆者曾經看一些國中生解數學題目,大多數只會做例行性的問題(即師長教過的範例類似題),碰到非例行性題目(non-routine problem)時都不知所措。我問他們,跟此題目可能相關的數學知識,你可以羅列出來,然後一項項分析評估或進行嘗試錯誤嗎﹖結果他們每個人都睜大眼睛看我,好像我在講剛果土話,換句話說,他們根本不會「數學解題」的思考,只會「模仿、複製」被制約好的行為。我可以理解,升學考試時間不夠充裕,不能作較深沉的思索。但是,進一步想想,那我們考試出來的成績,又代表什麼呢?我確定不是能力。

題目轉換機制為何

  也許我們無法在升學考試中考出能力,但是如果我們承認「考試領導教學」的現實,而且體認到數學的學習要點,是希望學生在獲得一些數學知識之外,還能養成數學能力,那我們就得在設計國中基本學力測驗的時候,講究「怎樣的題目能讓老師重視並進行學生能力培養的教學活動」,只要這種策略能發揮作用,學測的這個制度就會替台灣的數學教育帶來莫大的功德。

   數學能力是什麼?學術界還無法做完整的界定,但最起碼有些是比較確定的。譬如說,上文中讀到把題型歸類的教學討論,就是其中一種。筆者有些目前在國中執教的學生,利用這種把基本型弄清楚、熟練後,其他題目一律想辦法變形回歸到基本型來處理的方式來教學,發現學生的數學能力增加,而段考成績也得到大幅度的提昇。套句他學生的話,數學題目的變化有跡可「尋」,數學的考試就變簡單了。因此學生肯投資更多的時間和精力,來玩這種遊戲,以取得更大的回報。

   當然,這就產生如何看出一個題目的原型,而題目可以如何變化的問題。原則上在教學時一定要慢慢來,由簡單的變化逐步加深。此時,老師應該分析題目變化時需要怎樣的能力,學生若沒有這樣的能力,老師如何給墊腳石,學生才能踩上去。

題目六 畫一個圓,並隨意畫出一個外切正三角形,及一個內切正三角形,如下左圖所示。問這兩個三角形的面積比是多少?

  筆者發現,當題目所附的圖是上左圖時,八成以上的學生不知道如何解題。附圖是上中圖時,接近一半的學生會把兩個三角形的頂點和圓心連接起來,如圖中的虛線所示,他們也猜得出來面積是4:1,但當他們要證明時會卡住,他們無法說明,為什麼圓心到外切正三角形頂點的線段長,是到內接正三角形頂點的2倍?但是,當附圖是上右圖時,幾乎有八成的學生立刻知道面積比為4:1,他們也都知道,三角形三邊中點的連線,會把一個三角形切成四個全等且和原來三角形相似的三角形;當然,會證明此定理的學生人數會降低。當我問他們,為什麼外切正三角形的三個切點一定是各邊中點時,能說出道理的人數就只剩一半了。

   問題在於學生為什麼會把上左圖變成上右圖,他們需要怎樣的能力才能做出這樣的調整?知識上他們應該知道:一定圓的任意內接三角形都全等,但是,更重要的可能是學生看待數學題目的心態:他們常把數學題目視為神聖而不可更改的事物,在如此的看法下,他們能解決的數學題目就不會太多,難怪許多人都用記憶的方法學數學,他們學到數學知識的皮毛,而失去了數學的精神。

信心是解題的關鍵

   寫到這裡再回頭看前文,覺得非常慚愧,因為「飛揚」要我寫稿,目的是談如何改進學測命題,可是我把文章寫偏了,截稿時間迫在眉睫,沒有時間改寫,只好將就交差。還好本文談的也是數學題目的變化,勉強沾到主題的邊,希望讀者和主編見諒。另一個需要致歉的是文章中的取材,由於筆者與國中生接觸的經驗限於自己與親友的小孩,以及犬子所就讀的和平國中數學資優班(七十三至七十五學年度),文中論述可能對中等以下資質,甚至於一般的學生並不見得適用。若認為上述論述有不合理之處,仁人君子請不吝來信賜教。

   最後,筆者想和讀者分享最近的一個經驗,跟下題有關。此題是國北師去年在職小學教師碩士進修班數學教育組的入學考試題目之一,不久前筆者到某小學演講時,有位老師提出來要我幫她解題。

題目七 令a=122333444455555666666777777788888888999999999,問a3除以11後之餘數為多少?

   題目寫出來,筆者就愣住了,心想不知哪位蛋頭同仁(筆者在國北師兼課)竟敢如此賣弄才情,命出這樣的題目來。後來一想,同仁們的個性並不會很極端,所以此題一定也不會用到很偏的數論知識。心定下來後,再看題目就不一樣了,先想把a3的三次方去掉,改成a後要如何解呢?若不用到特定的定理算則,一般的方法就是盡量減去11的倍數,使該數變簡單,下面就是我解題的痕跡:

∵(a-11k)3=a3 -3a2 ×11k+3a×(11k)2 -(11k)3
∴a3除以11的餘數=(a-11k)3 除以11之餘數
a3除以11之餘數=(5)3 除以11之餘數=4

   這裡對解題痕跡中頭兩行的數字前面部分且做一些解釋:我先從最前面的兩個數字12中扣去11,餘2下面的1,如下面最左框,現在要處理的數變成1233344......,從最左的兩數字12中扣去11,餘2下面的1,數變成133344......,

  從最左的13中扣去11,餘3下面的2,數變成23344....,如中間框所示﹔從最左得數字23中扣22,餘3下面的1,......;如此繼續下去,一直到最後。

   這個經驗告訴我們,數學解題最有效的方法是相信自己的能力,這其實是資優生和其他學生最大的差異。當他們有自信能解出所面對的題目時,他們就會努力去想辦法解題,也許不見得每次都會成功,但是,當他們堅持一段時日後,成功的機率就會大幅上升,數學能力就此養成。最後,用筆者最喜歡的座右銘和讀者共勉:

   不是能者多勞,而是勞者多能 — 越多的嘗試,養成更強的能力。